moea_joint
103年
[土木] 應用力學、材料力學
第 20 題
推導樑之純彎曲公式 $\sigma_x = -\frac{M_z y}{I_z}$ 時，其必要之假設條件，不包括下列何者？
- A 忽略應力集中效應
- B 變形量微小
- C 樑為等斷面之直樑
- D 材料為完全彈塑性且張力、壓力兩者行為相同
思路引導 VIP
請試著回想，在推導這個應力公式的過程中，我們假設應力（$\sigma$）與應變（$\epsilon$）之間的關係是呈比例的線性關係。如果今天材料受力後進入了一種「即便應變持續增加，應力卻保持不變」的流動狀態，你認為原本這個強調線性比例的數學結構還能維持嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你答對了！這顯示你對於材料力學中最核心的「樑繞曲理論」掌握得非常扎實，能夠精準辨識出公式成立的前提與邊界條件。
線性彈性與公式前提
我們常用的純彎曲應力公式 $\sigma_x = -\frac{M_z y}{I_z}$，其推導的核心基於 虎克定律 (Hooke's Law)，意即材料必須處於線性彈性 (Linear Elastic) 階段。在這種情況下，應力才會與應變呈線性比例，進而形成斷面上的三角形應力分佈。選項 (D) 提到的「完全彈塑性」是指材料達到降伏後應力不再增加的行為，這會導致應力分佈變成非線性，此時該公式便不再適用。雖然我們通常假設材料在拉、壓時的彈性性質相同，但「完全彈塑性」的描述顯然超出了此公式的應用範疇。
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