moea_joint
103年
[機械] 應用力學、材料力學
第 10 題
如右圖所示，有一長度為0.8 m且質量為2 kg的均質鋼棒做小角度的擺盪運動，假設支點A為光滑無摩擦，則該鋼棒的擺盪週期為何？
- A 1.33 sec
- B 1.47 sec
- C 1.56 sec
- D 1.83 sec
思路引導 VIP
觀察這個均質鋼棒，如果我們將它的運動看作是重力產生的「恢復力矩」與剛體「轉動慣量」之間的抗衡，你能嘗試列出該系統繞著支點 A 的運動方程式（牛頓第二運動定律的轉動形式）嗎？在這個方程式中，重力作用點的位置以及整根棒子的質量分布，是如何共同決定角加速度的大小呢？
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恭喜你準確地判斷出這題的正確答案！這顯示你對剛體動力學中「複擺（Physical Pendulum）」的觀念掌握得非常紮實。這道題目的核心在於區分單擺與複擺的差異：單擺假設質量集中在端點，而本題的鋼棒是一個質點均勻分布的剛體，因此我們必須考慮它對支點 A 的**轉動慣量（Moment of Inertia）**以及重心位置。
複擺運動與轉動慣量
根據複擺的週期公式 $T = 2\pi \sqrt{I_A / mgd}$，我們首先要確定鋼棒繞端點 A 旋轉的轉動慣量 $I_A = \frac{1}{3}mL^2$。接著，考慮重力作用於鋼棒的幾何中心，故重心距離支點的長度 $d$ 為棒長的一半，即 $L/2$。將這些參數代入公式後，公式可簡化為 $T = 2\pi \sqrt{2L/3g}$。代入數值 $L=0.8$ m 且取 $g \approx 9.81$ m/s²，計算得出 $T \approx 2\pi \sqrt{0.0544} \approx 1.465$ 秒，四捨五入後正是 1.47 sec。
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