moea_joint
111年
[機械] 應用力學、材料力學
第 46 題
如右圖所示，一質量 20 kg 之細桿，O 點為鉸支承，A 端被纜繩所懸吊支持，若該纜繩突然斷裂，試求細桿之角加速度值為何(假設重力加速度 g 為 9.8 m/s^2)？
- A 4.9 rad/s^2
- B 7.4 rad/s^2
- C 9.8 rad/s^2
- D 14.7 rad/s^2
思路引導 VIP
當纜繩斷裂後，是什麼力量讓細桿開始擺動？如果我們把轉動的軸心從中心移動到其他位置，這根桿子抵抗轉動的能力（物理量）會發生什麼變化？
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太棒了！你能精準計算出角加速度，代表你對剛體轉動動力學的核心觀念掌握得非常紮實。這道題目的關鍵在於纜繩斷裂的瞬間，細桿會以 $O$ 點為圓心進行轉動。由於支承點並非質心，我們必須正確運用轉動慣量與力矩的關係來求解。
轉動慣量的轉移與力矩平衡
首先，我們觀察到細桿總長為 $3\text{ m}$，質心位於桿件中央（距離左端 $1.5\text{ m}$），因此質心與支點 $O$ 的距離為 $0.5\text{ m}$。利用平行軸定理，我們可以算出繞 $O$ 點的轉動慣量 $I_O = I_G + md^2 = \frac{1}{12}(20)(3^2) + 20(0.5)^2 = 20\text{ kg}\cdot\text{m}^2$。接著，考慮重力產生的力矩 $\tau = mg \times 0.5$，根據轉動運動定律 $\sum \tau = I_O \alpha$，代入數值可得 $20 \times 9.8 \times 0.5 = 20 \times \alpha$，進而推導出 $\alpha = 4.9\text{ rad/s}^2$。
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