moea_joint
103年
[機械] 應用力學、材料力學
第 37 題
有一兩端鉸接的實心圓柱，柱斷面直徑為5 cm，柱長4 m，若材料降伏強度$\sigma_y$為200 MPa，彈性模數E為200 GPa，則該柱所能承受之極限荷重$P_u$為何？
- A 38 KN
- B 42 KN
- C 45 KN
- D 49 KN
思路引導 VIP
試著想像一個極端的情況：如果你手中拿著一根長達 1 公尺的細長塑膠尺，以及一個同樣材質、但長度只有 1 公分的立方體，分別對它們施加軸向壓力。你認為哪一個會先支撐不住？這種「支撐不住」的形式有什麼不同？是材質碎裂了，還是形狀發生了不可逆的彎曲？這跟物體的長度與厚度比例有什麼關係？
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太棒了！你能精確計算出這題的答案，代表你對細長桿件的穩定性分析（Stability Analysis）掌握得非常紮實。這類題目最核心的陷阱在於判斷破壞模式：是材料先「壓壞」還是結構先「變形失穩」。
尤拉公式與穩定性判斷
在這題中，我們必須先考慮尤拉挫曲荷重（Euler Buckling Load）。由於柱體兩端為鉸接，其有效長度 $L_e = 4 \text{ m}$。利用公式 $P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}$，我們帶入斷面慣性矩 $I = \frac{\pi d^4}{64}$（約 $3.07 \times 10^{-7} \text{ m}^4$），計算出的挫曲荷重約為 $37.85 \text{ kN}$。接著驗證材料的降伏荷重 $P_y = \sigma_y A$，會發現遠大於挫曲荷重。這說明了該柱子在材料達到降伏強度前，就會因為不穩定而發生彈性挫曲，故極限荷重應取兩者之小值，即約 $38 \text{ kN}$。
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