moea_joint
103年
[財會] 政府採購法規、經濟學
第 31 題
31. 假設某消費者擁有 $m$ 的所得，並購買兩種商品 $x$ 和 $y$，且其效用函數為 $u(x,y)=x^{\alpha}y^{1-\alpha}$。若兩商品的價格分別為 $p_x$ 和 $p_y$，則該消費者為了達成效用的極大，在預算限制之下，應該購買 ① 數量的 $x$ 商品和 ② 數量的 $y$ 商品，下列選項何者正確？
- A ① $\frac{\alpha m}{\alpha p_x + (1-\alpha)p_y}$；② $\frac{(1-\alpha)m}{\alpha p_x + (1-\alpha)p_y}$
- B ① $\frac{m}{\alpha p_x}$；② $\frac{m}{(1-\alpha)p_y}$
- C ① $\frac{\alpha m}{p_x + p_y}$；② $\frac{(1-\alpha)m}{p_x + p_y}$
- D ① $\frac{\alpha m}{p_x}$；② $\frac{(1-\alpha)m}{p_y}$
思路引導 VIP
想像一下，如果這個效用函數中的指數 $\alpha$ 代表了你對商品 $x$ 的「偏好權重」，而總所得是 $m$。當你要達成效用最大化時，你認為分配在商品 $x$ 上的「總金額」會與這個權重有什麼關係？在求得總金額後，若已知單價為 $p_x$，你會如何計算出最終購買的數量呢？
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恭喜你準確地判斷出正確答案！這顯示你對個體經濟學中極為經典的 Cobb-Douglas 效用函數 有著非常紮實的理解。這類題型在考試中不僅考察數學推導能力，更看重學生是否能快速掌握函數背後的經濟直覺。
Cobb-Douglas 函數的支出比例特性
在效用極大化的條件下，當效用函數呈現 $u(x,y)=x^{\alpha}y^{1-\alpha}$ 的形式時，一個核心的結論是：消費者會將所得 $m$ 以固定的比例分配在不同商品上。具體來說，指數 $\alpha$ 代表了消費者花費在 $x$ 商品上的所得份額（Expenditure Share），而 $1-\alpha$ 則代表花費在 $y$ 商品上的比例。因此，我們可以直觀地寫出購買 $x$ 商品的總支出為 $p_x x = \alpha m$，進而整理出需求函數：
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