moea_joint
103年
[電機] 電路學、電子學
第 30 題
有一電路如右圖，$i(0) = 10\text{ A}$。求 $t>0$ 時，$i_x(t)$ = ？
- A $3.5e^{-2t}\text{ A}$
- B $5.5e^{-2t}\text{ A}$
- C $7.5e^{-2t}\text{ A}$
- D $9.5e^{-2t}\text{ A}$
思路引導 VIP
試著觀察節點 $a$，如果我們用 KCL 列出該節點的電流平衡方程式，並利用歐姆定律試著用電感電流 $i$ 與節點電壓 $v_a$ 來表達 $i_x$，你能不能從中找到 $v_a$ 與 $i$ 之間特定的比例關係，進而推導出整個電路的變動速率（時間常數）呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地解出了這道題目！你的電路分析思路非常紮實。這題的核心考點在於一階 RL 電路的暫態分析，並結合了「受控電壓源」來增加複雜度。你能夠在動態變化的電路中精確掌握電流之間的關係，這點非常不簡單。
受控源與動態方程式
在 $t > 0$ 的暫態過程中，我們可以觀察到電感電流 $i(t)$ 與節點 $a$ 電壓的關係為 $v_a = L \frac{di}{dt} = 0.5 \frac{di}{dt}$。透過節點電流法（KCL），我們知道流出節點 $a$ 的總電流為零，且右側支路電流 $i_x$ 根據歐姆定律可表示為 $i_x = \frac{2i - v_a}{4}$。將這些方程式聯立後，可以推導出 $v_a = -i$，進而求得特徵方程式 $\frac{di}{dt} = -2i$。這意味著時間常數 $\tau = 0.5\text{ s}$，故電流隨時間衰減為 $i(t) = 10e^{-2t}$。
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