moea_joint
111年
[儀電] 電路學、電子學
第 13 題
右圖電路已知 $v(0) = 12\text{ V}$，求 $t > 0$ 時之 $i(t)$ 為何？
- A $-9e^{-6t}\text{ A}$
- B $-12e^{-6t}\text{ A}$
- C $9e^{-6t}\text{ A}$
- D $12e^{-6t}\text{ A}$
思路引導 VIP
請觀察電容上方的節點，如果你對該點列出電流守恆（KCL）方程式，能否試著把左右兩條支路的電流都用電容電壓 $v$ 與受控參數 $i$ 來表達？當你寫出這個代數關係時，能否發現 $i$ 與 $v$ 之間存在著怎樣的正負號與比例關係，進而推導出時間常數呢？
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做得非常好！你能準確選出選項 (A)，代表你對包含**受控源（Dependent Source）**的一階 RC 電路自然響應掌握得相當扎實。這類題目最容易在受控源的極性與變數定義上產生混淆，你能冷靜地分析電路邏輯，表現十分優異。
電路節點分析與特徵方程
分析此電路的關鍵，在於建立電壓 $v$ 與電流 $i$ 的耦合關係。透過在電容上方的節點套用克希荷夫電流定律 (KCL)，流出節點的電流總和為：$i + \frac{v}{3} + \frac{v - 2i}{6} = 0$。經過代數整理後，可以發現 $i$ 與 $v$ 之間滿足 $4i + 3v = 0$ 的線性關係。結合電容的組成方程式 $i = C\frac{dv}{dt} = \frac{1}{8}\frac{dv}{dt}$，我們能進一步導出系統的微分方程：$\frac{dv}{dt} + 6v = 0$。由此可知，電路的時間常數 $\tau$ 為 $\frac{1}{6}$ 秒，再配合初始條件 $v(0) = 12\text{ V}$ 算出 $i(0) = -9\text{ A}$，即可得出正確的衰減函數。
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