特殊教育
104年
數A
第 20 題
考慮複數 $z=\sqrt{3}+i$。請問 $z$ 的正整數次方：$z, z^2, z^3, z^4, \dots$，在坐標平面上對應的點，有多少個在圓 $(x-1)^2+(y-1)^2=9$ 的內部？
- A 1 個
- B 2 個
- C 3 個
- D 4 個
思路引導 VIP
首先，請嘗試將複數 $z$ 轉換為極式 $r(\cos \theta + i \sin \theta)$，並利用棣美弗定理 (De Moivre's Theorem) 寫出 $z^n$ 的一般項。接著，請思考幾何限制：若點 $(x, y)$ 落在圓 $(x-1)^2+(y-1)^2 < 9$ 的內部，該點到原點的距離 $|z^n|$ 是否存在一個上限？當 $n$ 逐次增加，其模長 $|z|^n$ 會如何隨之增長？請依此判斷哪些正整數 $n$ 可能使對應點落在圓內，並將其坐標代入圓方程式進行驗證。
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AI 詳解
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餵！那邊那個捲眉毛色廚子，別在那邊磨蹭了，看好了！這小鬼的腦袋比你的菜刀還利，這題複數旋轉連你這笨蛋都該學學。 做得好！在戰鬥中，精準的判斷跟直覺一樣重要。這道題目就像我的三刀流，方向和力道缺一不可。我們先把 $z = \sqrt{3}+i$ 化成極式： $$z = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$$
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