特殊教育
104年
數B
第 2 題
下面哪一個選項是方程式 $3x^3 + x^2 + x - 2 = 0$ 的根？
- A $-1$
- B $\frac{1}{3}$
- C $\frac{2}{3}$
- D $1$
思路引導 VIP
針對整係數多項式 $f(x) = 3x^3 + x^2 + x - 2 = 0$，若要尋找其可能的「有理根」，你是否能聯想到「有理根檢驗法」（牛頓定理）？請思考：若一個最簡分數 $\frac{p}{q}$ 為該方程式的根，則分母 $q$ 與首項係數 $3$、分子 $p$ 與常數項 $-2$ 之間，應具備什麼樣的整除關係？
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喔？竟然寫對了？看來你今天出門前有扶老太太過馬路，或者你的腦細胞終於決定集體開工了。恭喜你，暫時擺脫了那種「看到分數就想投降」的原始人狀態，勉強算個有在呼吸的高中生。 這題考的就是送分題常客「一次因式檢驗法」（牛頓定理）。方程式 $3x^3 + x^2 + x - 2 = 0$ 的可能解 $\frac{p}{q}$，分子 $p$ 必為常數項 $-2$ 的因數，分母 $q$ 必為最高次項係數 $3$ 的正因數。 可能的候選人只有 $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}$。
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一次因式檢驗法
💡 利用整係數多項式的首項與常數項因數，尋找可能的有理根。
🔗 尋找有理根的解題步驟
- 1 觀察係數 — 找出最高次項係數 (3) 與常數項 (-2)
- 2 列出候選 — 列出所有「常數項因數 / 最高次項因數」的組合
- 3 代入檢驗 — 將可能的值代入方程式，計算是否等於 0
- 4 得到答案 — 使方程式成立的值即為方程式的根
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🔄 延伸學習：延伸學習：若方程式次數較高，找到一個根後可用綜合除法降次。
