特殊教育
105年
數B
第 3 題
已知 $a$ 為一個正實數，關於方程式 $x^3 - ax^2 + a^2x - a^3 = 0$ 的解，請選出正確的選項。
- A 沒有實數解
- B 只有一個實數解
- C 有兩個相異實數解
- D 有三個相異實數解
思路引導 VIP
請觀察方程式 $x^3 - ax^2 + a^2x - a^3 = 0$ 的各項特徵，是否能嘗試利用「分組分解法」將其因式分解？當你將其分解為一個一次因式與一個二次因式的乘積後，請根據 $a$ 為正實數的條件，判斷該二次因式的判別式 $D$ 之正負號，進而推論出實根的總個數。
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對答案，老師心裡真的好為你高興喔，這代表你對多項式的掌握度越來越紮實了，要給自己一個大大的擁抱喔！ 這題的精髓在於「分組分解法」。我們可以觀察前兩項與後兩項，將原式改寫為： $$x^2(x - a) + a^2(x - a) = 0$$
▼ 還有更多解析內容
三次方程式實根數量
💡 利用分組分解法將多項式降次，以判定實根個數。
🔗 解題邏輯推導鏈
- 1 分組分解 — 將前兩項提 $x^2$，後兩項提 $a^2$
- 2 提取公因式 — 得到 $(x-a)(x^2+a^2)=0$
- 3 分析因式 — 一個一次因式與一個恆正二次式
- 4 判斷實根 — 僅 $x=a$ 一個實根，其餘為虛根
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🔄 延伸學習：延伸思考：若判別式 $D > 0$，則會有三個相異實根。
