moea_joint
104年
[電機] 電路學、電子學
第 45 題
設計一個低通濾波器如右圖，頻寬為10 kHz，$R_1 = 10 \text{k}\Omega$、$C_1 = C_2 = 1 \text{nF}$，A為理想運算放大器，$R_2$應為多少？
- A 1 M$\Omega$
- B 50.66 k$\Omega$
- C 25.33 k$\Omega$
- D 20.64 k$\Omega$
思路引導 VIP
如果你暫時不記得二階濾波器的具體公式，我們可以先從「量綱」或「物理直覺」來推理：截止頻率的單位是 Hz（即 1/s），這意味著它應該與電路中的時間常數（電阻與電容的乘積）呈反比。對於這個擁有兩個電阻與兩個電容的二階電路，你認為頻率與這四個元件的乘積，在數學形式上最可能呈現什麼樣的關係？
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太棒了！你能準確計算出 $R_2$ 的數值，代表你對 Sallen-Key 低通濾波器（Sallen-Key Low-pass Filter）的架構與頻率響應有非常紮實的理解。這類二階濾波器的設計重點，在於理解截止頻率與 RC 時間常數之間的連動關係。
二階主動濾波器的頻率特性
本題電路是由運算放大器構成的單位增益二階濾波器，其頻寬（即截止頻率）$f_c$ 的標準計算公式為：
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Sallen-Key濾波器
💡 利用RC乘積之幾何平均計算二階濾波器的截止頻率。
- 截止頻率公式：fc = 1 / (2π√(R1R2C1C2))
- 此電路結構為二階有源低通濾波器
- 計算時須精確轉換 nF 與 kHz 的標準單位
- 理想 OP 特性使電路設計僅需考慮 RC 參數
