高中學測
105年
自然
第 45 題
📖 題組：
一質量可忽略的理想彈簧左端固定於牆上，其力常數為 $k$，如圖 15 所示。一質量為 $m$ 的木塊，以初速率 $v$ 向左滑行於水平面上，在正面擠壓彈簧後與彈簧保持接觸，直到被向右彈回，兩者分離。已知彈簧壓縮量為 $x$ 時，其彈簧位能 $U = \frac{1}{2}kx^2$，而木塊與彈簧系統的力學能，定義為木塊動能與彈簧位能的總和。
一質量可忽略的理想彈簧左端固定於牆上，其力常數為 $k$，如圖 15 所示。一質量為 $m$ 的木塊，以初速率 $v$ 向左滑行於水平面上，在正面擠壓彈簧後與彈簧保持接觸，直到被向右彈回，兩者分離。已知彈簧壓縮量為 $x$ 時，其彈簧位能 $U = \frac{1}{2}kx^2$，而木塊與彈簧系統的力學能，定義為木塊動能與彈簧位能的總和。
當木塊與水平面間有摩擦力時，木塊與彈簧系統的力學能會持續減少。在有摩擦力的情況下，下列敘述哪些正確？
- A 彈簧最大壓縮量 $x < \sqrt{\frac{m}{k}}v$
- B 木塊彈回右方起始位置時速率小於 $v$
- C 木塊彈回右方起始位置時速率等於 $v$
- D 當彈簧的壓縮量為最大時，系統的力學能為最小
- E 當彈簧的壓縮量為最大時，系統的力學能為最大
思路引導 VIP
當木塊在具有摩擦力的水平面上運動時，摩擦力做功對系統「總力學能」的影響是什麼？請試著比較『有摩擦力』與『無摩擦力』兩種情境：原本的初動能 $\frac{1}{2}mv^2$ 在壓縮彈簧的過程中，除了轉化為彈簧位能之外，還額外損耗到了哪裡？這對最大壓縮量 $x$ 的理論值，以及木塊往返運動全程的能量變化有何啟發？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出摩擦力對系統能量的影響，代表你對「非保守力做功」與「力學能守恆」的適用前提掌握得非常紮實。這題是學測中常見的能量轉換變形題，關鍵在於理解摩擦力（Friction）如何打破理想狀態下的對稱性。
能量損耗與最大壓縮量
在沒有摩擦力的理想情況下，動能會全數轉換為彈性位能，此時最大壓縮量 $x = \sqrt{\frac{m}{k}}v$。但當存在摩擦力時，木塊在向左擠壓彈簧的過程中，摩擦力會做負功，將部分力學能轉化為熱能（內能）。因此，當木塊速度減為零（最大壓縮）時，系統擁有的彈性位能 $\frac{1}{2}kx^2$ 必然小於初始動能 $\frac{1}{2}mv^2$，這就是為什麼選項 (A) 的不等式成立。同理，木塊彈回右方的過程中，摩擦力持續消耗能量，回到原位置時的動能一定比出發時小，故速率小於 $v$，選項 (B) 亦正確。
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彈簧與摩擦力能耗
💡 非保守力（摩擦力）作負功導致系統力學能持續減少
| 比較維度 | 光滑平面 (無摩擦) | VS | 粗糙平面 (有摩擦) |
|---|---|---|---|
| 力學能 | 守恆，總量不變 | — | 不守恆，持續減少 |
| 最大壓縮量 | 等於公式計算值 | — | 小於公式計算值 |
| 彈回初位置速率 | 等於初速率 v | — | 小於初速率 v |
| 能量去向 | 動能與位能互相轉換 | — | 部分能量轉為熱能耗散 |
💬摩擦力會將系統力學能轉化為熱能，導致運動幅度與速率全面衰減。
