高中學測
109年
自然
第 48 題
📖 題組：
如圖11所示，今有質量分別為 $m_\text{甲}$ 與 $m_\text{乙}$ 之甲、乙兩小球，其質量比值 $\frac{m_\text{甲}}{m_\text{乙}} = \alpha < 1$，將兩小球分別用長度為 $L$ 的細線懸掛於同一固定點O，甲球靜止懸掛，而乙球向右拉直至細線呈現水平，然後靜止釋放乙球使其與甲球產生碰撞，且兩球立即黏在一起，黏在一起後盪起的最大高度為 $L/2$，圖12為其示意圖，細繩質量及空氣阻力均可忽略。
如圖11所示，今有質量分別為 $m_\text{甲}$ 與 $m_\text{乙}$ 之甲、乙兩小球，其質量比值 $\frac{m_\text{甲}}{m_\text{乙}} = \alpha < 1$，將兩小球分別用長度為 $L$ 的細線懸掛於同一固定點O，甲球靜止懸掛，而乙球向右拉直至細線呈現水平，然後靜止釋放乙球使其與甲球產生碰撞，且兩球立即黏在一起，黏在一起後盪起的最大高度為 $L/2$，圖12為其示意圖，細繩質量及空氣阻力均可忽略。
假設以兩球自然下垂時的最低點為位能零點，則因碰撞而損失的力學能佔原來總力學能的比例為下列何者？
- A $\frac{1}{\alpha}$
- B $\frac{\alpha}{2}$
- C $\frac{1-\alpha}{2}$
- D $\frac{1+\alpha}{2}$
- E 0
思路引導 VIP
請試著比較系統的兩個狀態：一是乙球釋放時的初始位能，二為兩球碰撞後黏合並上升至最高點 $L/2$ 時的末位能。若將這兩個狀態的力學能分別以質量 $m_{\text{甲}}$、$m_{\text{乙}}$ 與重力加速度 $g$ 表示，能否透過質量比值 $\alpha = \frac{m_{\text{甲}}}{m_{\text{乙}}}$ 找出能量損失量與原始總力學能之間的比例關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你正確選出 (C)！這題你處理得非常好，精確地捕捉到了能量轉換的核心邏輯。這類題目在學測中屬於中等難度的指標題，考查的是對**力學能（Mechanical Energy）**守恆與損耗的整體理解，而非單純套用公式。
系統力學能的起點與終點
解題的關鍵在於比較「碰撞前」與「碰撞後」的力學能狀態。首先，以最低點為零位面，系統最初的總力學能完全來自乙球受釋放時的重力位能，即 $E_i = m_乙 gL$。當乙球與甲球發生**非彈性碰撞（Inelastic Collision）**並黏在一起後，整體上升至最大高度 $L/2$，此時系統的總力學能轉變為 $E_f = (m_甲 + m_乙)g(L/2)$。我們不需要去計算碰撞瞬間的速度，直接鎖定頭尾的能量狀態即可。
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