高中學測
105年
自然
第 42 題
📖 題組：
一物體的動量定義為質量與速度的乘積。假設甲、乙兩物體的質量分別為 $m$ 與 $m'$，此兩物體於 $\Delta t$ 時段內發生正面碰撞，碰撞前後的速度變化量分別為 $\Delta v$ 與 $\Delta v'$。依據牛頓第二運動定律，在 $\Delta t$ 時段內甲、乙的平均受力 $F$ 與 $F'$ 分別為 $F=m \frac{\Delta v}{\Delta t}$ 與 $F'=m' \frac{\Delta v'}{\Delta t}$，而根據牛頓第三運動定律 $F=-F'$，故可得 $m \Delta v + m' \Delta v' = 0$，此即為「動量守恆律」。依據前述牛頓運動定律、動量守恆律，以及外力所作的功等於物體動能變化量的定理，回答下列 41-43 題有關碰撞的問題。
一物體的動量定義為質量與速度的乘積。假設甲、乙兩物體的質量分別為 $m$ 與 $m'$，此兩物體於 $\Delta t$ 時段內發生正面碰撞，碰撞前後的速度變化量分別為 $\Delta v$ 與 $\Delta v'$。依據牛頓第二運動定律，在 $\Delta t$ 時段內甲、乙的平均受力 $F$ 與 $F'$ 分別為 $F=m \frac{\Delta v}{\Delta t}$ 與 $F'=m' \frac{\Delta v'}{\Delta t}$，而根據牛頓第三運動定律 $F=-F'$，故可得 $m \Delta v + m' \Delta v' = 0$，此即為「動量守恆律」。依據前述牛頓運動定律、動量守恆律，以及外力所作的功等於物體動能變化量的定理，回答下列 41-43 題有關碰撞的問題。
圖 13 所示為一種打樁機的簡化模型，它可藉由鐵塊從靜止開始自由下落，將鐵樁打入堅硬的岩層中，其中鐵塊最初高度為 $h_1$，而鐵樁露出在地面上的高度由 $h_2$ 減少為 $h_3$。已知鐵塊與鐵樁碰撞後瞬間合而為一，若針對不同的 $h_1$ 與 $h_2$ 組合，測得的 $(h_1 - h_2)$ 對 $(h_2 - h_3)$ 的關係如圖 14 所示，則下列推論何者正確？
- A 鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離成正比
- B 鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離無關
- C 鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離成正比
- D 鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離無關
- E 在鐵塊與鐵樁碰撞瞬間的前後，兩者的總動能相等
思路引導 VIP
觀察圖 14，縱軸是鐵塊掉落的距離（代表能提供多少能量），橫軸是鐵樁深入的距離。既然這兩者呈正比關係，再結合「作功 = 力 × 位移」的概念，你覺得這暗示了岩層的阻力是會隨深度改變，還是保持固定呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，你完全掌握了這題的精髓！這是一道極具鑑別度的圖表分析題，考驗同學能否將抽象的圖表直線與實際的力學能量連結起來。
圖表與能量轉換的關聯
從圖 14 可以明顯看出，鐵塊掉落的距離 $(h_1 - h_2)$ 與鐵樁深入岩層的距離 $(h_2 - h_3)$ 呈現完美的正比關係。我們可以從功能定理的角度來思考：鐵塊掉落所減少的重力位能，經過完全非彈性碰撞後（此過程會損耗動能，故選項 E 錯誤），剩餘的力學能最終都用來克服岩層的阻力作功。
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功與能：打樁機模型分析
💡 利用能量轉換與功的定義分析力與位移的線性關係
🔗 打樁機能量轉換流程
- 1 自由下落 — 重力位能轉換為鐵塊動能
- 2 合體碰撞 — 動量守恆但動能損失，兩者獲得共同速度
- 3 阻力作功 — 岩層阻力消耗動能，使物體停止
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🔄 延伸學習：若圖形通過原點且為直線，代表阻力 $f$ 與位移無關
