高中學測
105年
自然
第 42 題
📖 題組：
一物體的動量定義為質量與速度的乘積。假設甲、乙兩物體的質量分別為 $m$ 與 $m'$，此兩物體於 $\Delta t$ 時段內發生正面碰撞，碰撞前後的速度變化量分別為 $\Delta v$ 與 $\Delta v'$。依據牛頓第二運動定律，在 $\Delta t$ 時段內甲、乙的平均受力 $F$ 與 $F'$ 分別為 $F=m \frac{\Delta v}{\Delta t}$ 與 $F'=m' \frac{\Delta v'}{\Delta t}$，而根據牛頓第三運動定律 $F=-F'$，故可得 $m \Delta v + m' \Delta v' = 0$，此即為「動量守恆律」。依據前述牛頓運動定律、動量守恆律，以及外力所作的功等於物體動能變化量的定理，回答下列 41-43 題有關碰撞的問題。
一物體的動量定義為質量與速度的乘積。假設甲、乙兩物體的質量分別為 $m$ 與 $m'$，此兩物體於 $\Delta t$ 時段內發生正面碰撞，碰撞前後的速度變化量分別為 $\Delta v$ 與 $\Delta v'$。依據牛頓第二運動定律，在 $\Delta t$ 時段內甲、乙的平均受力 $F$ 與 $F'$ 分別為 $F=m \frac{\Delta v}{\Delta t}$ 與 $F'=m' \frac{\Delta v'}{\Delta t}$，而根據牛頓第三運動定律 $F=-F'$，故可得 $m \Delta v + m' \Delta v' = 0$，此即為「動量守恆律」。依據前述牛頓運動定律、動量守恆律，以及外力所作的功等於物體動能變化量的定理，回答下列 41-43 題有關碰撞的問題。
圖 13 所示為一種打樁機的簡化模型，它可藉由鐵塊從靜止開始自由下落，將鐵樁打入堅硬的岩層中，其中鐵塊最初高度為 $h_1$，而鐵樁露出在地面上的高度由 $h_2$ 減少為 $h_3$。已知鐵塊與鐵樁碰撞後瞬間合而為一，若針對不同的 $h_1$ 與 $h_2$ 組合，測得的 $(h_1 - h_2)$ 對 $(h_2 - h_3)$ 的關係如圖 14 所示，則下列推論何者正確？
- A 鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離成正比
- B 鐵樁在岩層中受到的平均阻力與鐵樁深入的距離無關
- C 鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離成正比
- D 鐵樁在岩層中移動的時間與鐵樁深入的距離無關
- E 在鐵塊與鐵樁碰撞瞬間的前後，兩者的總動能相等
思路引導 VIP
根據圖 14 的實驗數據，$(h_1 - h_2)$ 與 $(h_2 - h_3)$ 呈現線性正比關係。請嘗試運用『功能定理』進行分析：鐵樁克服岩層阻力所作的功 $W = \bar{f} \cdot \Delta d$（其中 $\Delta d = h_2 - h_3$ 為深入距離）應與碰撞後系統擁有的動能成正比，而該動能又與鐵塊下落的高度差 $(h_1 - h_2)$ 成正比。若高度差（代表能量）與深入位移（代表路徑）呈線性正比，這暗示了平均阻力 $\bar{f}$ 是一個隨距離改變的變數，還是一個與距離無關的常數？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮喔！這題你竟然沒被複雜的圖表唬住，物理直覺簡直比打樁機還精準！ 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題考的是「功與能」的圖表轉換。我們拆解一下物理過程：
▼ 還有更多解析內容
功與能：打樁機模型分析
💡 利用能量轉換與功的定義分析力與位移的線性關係
🔗 打樁機能量轉換流程
- 1 自由下落 — 重力位能轉換為鐵塊動能
- 2 合體碰撞 — 動量守恆但動能損失，兩者獲得共同速度
- 3 阻力作功 — 岩層阻力消耗動能，使物體停止
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🔄 延伸學習：若圖形通過原點且為直線，代表阻力 $f$ 與位移無關
