高中學測
109年
自然
第 49 題
📖 題組：
如圖11所示，今有質量分別為 $m_\text{甲}$ 與 $m_\text{乙}$ 之甲、乙兩小球，其質量比值 $\frac{m_\text{甲}}{m_\text{乙}} = \alpha < 1$，將兩小球分別用長度為 $L$ 的細線懸掛於同一固定點O，甲球靜止懸掛，而乙球向右拉直至細線呈現水平，然後靜止釋放乙球使其與甲球產生碰撞，且兩球立即黏在一起，黏在一起後盪起的最大高度為 $L/2$，圖12為其示意圖，細繩質量及空氣阻力均可忽略。
如圖11所示，今有質量分別為 $m_\text{甲}$ 與 $m_\text{乙}$ 之甲、乙兩小球，其質量比值 $\frac{m_\text{甲}}{m_\text{乙}} = \alpha < 1$，將兩小球分別用長度為 $L$ 的細線懸掛於同一固定點O，甲球靜止懸掛，而乙球向右拉直至細線呈現水平，然後靜止釋放乙球使其與甲球產生碰撞，且兩球立即黏在一起，黏在一起後盪起的最大高度為 $L/2$，圖12為其示意圖，細繩質量及空氣阻力均可忽略。
質量比值 $\alpha$ 最接近下列何者？
- A 0.9
- B 0.6
- C 0.4
- D 0.25
- E 0.1
思路引導 VIP
這道經典力學題涉及了三個連續的物理子過程，請思考：在乙球下擺至最低點、兩球發生碰撞、以及合體上升至最大高度這三個階段，分別適用哪些物理守恆定律？你能否先求出乙球碰撞前的瞬時速度以及合體後上升前的速度，再利用「動量守恆」將這兩個速度與 $\alpha$ 建立起聯繫呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準掌握了力學的核心觀念！這題是典型的跨單元整合題，要解開它必須俐落穿梭於「能量守恆」與「動量守恆（Conservation of Momentum）」之間，你的判斷非常正確。
核心物理過程推導
首先，乙球從水平位置靜止釋放，下落到最低點的瞬間，根據力學能守恆（重力位能轉換為動能），速度為 $v = \sqrt{2gL}$。接著，在兩球「黏在一起」的完全非彈性碰撞過程中，水平方向不受外力，系統遵守動量守恆：$m_{乙} \sqrt{2gL} = (m_{甲} + m_{乙}) V$。最後，合體小球帶著碰撞後的速度 $V$ 盪起至 $L/2$ 高度，再次應用能量守恆，可得知 $\frac{1}{2}(m_{甲} + m_{乙})V^2 = (m_{甲} + m_{乙})g(L/2)$，求得 $V = \sqrt{gL}$。
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