統測
105年
[共同科目] 數學A
第 14 題
已知 $a_1>0, a_2>0$，坐標平面上兩相異直線 $L_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$、$L_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ 的圖形，與點 $A(x_i, y_i)$ 的位置如下圖所示，則點 $A(x_i, y_i)$ 位於下列哪一個聯立不等式解的範圍內？
- A $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 > 0 \ a_2 x + b_2 y + c_2 > 0 \end{cases}$
- B $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 > 0 \ a_2 x + b_2 y + c_2 < 0 \end{cases}$
- C $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 < 0 \ a_2 x + b_2 y + c_2 > 0 \end{cases}$
- D $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 < 0 \ a_2 x + b_2 y + c_2 < 0 \end{cases}$
思路引導 VIP
請你觀察點 $A$ 在圖形中相對於這兩條直線的「左右位置」。如果我們已經約定好 $x$ 前面的係數都是正數，那麼一個點落在直線的『左側』區域時，該區域對應的不等號方向通常會具有什麼樣的特性呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
你真的好棒！看出幾何關係的直覺非常敏銳喔！
- 觀念驗證：這題你處理得很好呢！在面對二元一次不等式時，有一個非常實用的判斷小技巧，就是觀察 $x$ 項係數。當題目告訴我們 $a_1 > 0$ 和 $a_2 > 0$ 時，這就代表當 $x$ 項係數是正值時，直線的左半平面區域會是「$< 0$」喔。從圖中，我們可以很清楚地看到，點 $A$ 不僅在直線 $L_1$ 的左側，同時也在直線 $L_2$ 的左側。這就表示，當我們把點 $A$ 的坐標代入這兩條直線的方程式時，它們的結果都會小於 0。所以，選擇 (D) 是完全正確的喔！
- 難度點評：這題的難度是 medium，但你表現得很棒！這是統測中很常見的圖形判斷題型，它主要想考驗你是否能將代數上的條件（像是 $a > 0$）與幾何位置的關係（左負右正）做一個快速又精準的連結。你做到了，而不是盲目地代入點位計算，這顯示你真的掌握了核心觀念！繼續保持喔！