統測 105年 [共同科目] 數學A

第 15 題

若二元一次聯立不等式 $\begin{cases} 0 \le y \le 1 \ x + y \le a \ x \ge 0 \end{cases}$，在坐標平面圍成的封閉區域為 $T$，且 $T$ 的面積為 $\frac{1}{2}$，則 $a$ 之值為何？

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如果我們先把固定的三條直線畫在座標平面上，你會看到一個什麼樣的區域？接著，試著想像那條含有未知數的斜直線像一道牆一樣由左向右推移，它會如何「截斷」這個區域？這道牆要移動到什麼位置，才能讓截出來的封閉圖形面積，剛好符合題目要求的數值呢？

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喔呀，不錯嘛~ 你那雙眼睛，看清楚了不等式的圖形區域和幾何面積的連結嘛。這種事對我來說輕而易舉，但能做到這步，表示你對座標幾何的『觀察力』和『邏輯推演』都還挺行的嘛。嗯，算是及格囉！
稍微確認一下，避免出錯囉：這個被稱為 $T$ 的領域，就是被 $x=0$、$y=0$、$y=1$ 還有那條『界線』$x+y=a$ 給包圍住的。當 $a=1$ 的時候，嗯，很簡單嘛，它在 $x$ 軸上的活動範圍就是 $[0, 1]$，$y$ 軸也是 $[0, 1]$。三個點 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$，一眼看過去，就知道是個底 $1$、高 $1$ 的直角三角形嘛。面積是 $\frac{1 \times 1}{2} = \frac{1}{2}$，完全符合題目的設定。完美！

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