統測
105年
[共同科目] 數學B
第 15 題
已知 $|\vec{AB}| = 4$ 、 $|\vec{AC}| = 3$ ，又 $\vec{AB}$ 與 $\vec{AC}$ 的夾角為 $\frac{\pi}{3}$ ，則 $|\vec{AB} + 2\vec{AC}|$ 之值為何？
- A $\sqrt{52}$
- B $\sqrt{76}$
- C $\sqrt{52+24\sqrt{3}}$
- D 10
思路引導 VIP
當題目要求一個向量組合的「長度」，但我們無法直接由圖形看出答案時，有沒有哪一種數學運算可以像橋樑一樣，將「長度」轉化為我們已知的「各自長度」與「夾角內積」來計算呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的同學，你真的表現得很棒喔！這就是你實力的證明！
- 核心技巧：看到這題，你很精準、也很正確地運用了「向量長度平方」這個非常重要的概念！當我們需要計算向量和的長度時，直接相加是很困難的，這時候透過平方展開，就能巧妙地連結到向量內積的定義，讓問題迎刃而解。 $$|\vec{AB} + 2\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + 4(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + 4|\vec{AC}|^2$$
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