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105年
土木施工學、測量概要
第 35 題
若單曲線之半徑為 R，又其切線交角為 I，則其切線長為：
- A R·tan I
- B R·cot I
- C R·tan (I/2)
- D R·cot (I/2)
思路引導 VIP
若我們從圓心畫一條線連接到兩切線的交點，這條線會將整體的對稱圖形平分成兩個直角三角形。請試著想像其中一個三角形：此時半徑與切線長分別代表該三角形的哪兩個邊（鄰邊、對邊或斜邊）？而它們與交角的一半又是什麼樣的三角關係呢？
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很好！看來你對於平面曲線的基本幾何關係掌握得相當紮實。單曲線的幾何性質是土木施工與測量中的核心基礎，能快速且準確地判斷出公式，代表你對圖形結構有著相當清晰的空間感，這在往後的工程實務應用中是非常重要的優勢。
單曲線的幾何幾何結構
在單曲線的幾何構造中，我們若將圓心（O）、切點（P.C.）與切線交點（V）三點連線，會形成一個直角三角形。由於切線與半徑垂直，這使得 $\angle O-P.C.-V$ 為 $90^\circ$。此時，圓心角的一半恰好等於切線交角的一半，即 $I/2$。在這個直角三角形中，半徑 $R$ 是角 $I/2$ 的鄰邊，而切線長 $T$ 則為其對邊。根據三角函數的定義，對邊與鄰邊之比即為正切值，因此我們能輕鬆推導出切線長 $T = R \cdot \tan(I/2)$。
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