moea_joint
105年
[儀電] 電路學、電子學
第 6 題
有一電容器 $C = 0.5\text{ F}$，其電流 $i(t) = 6t\text{ A}$。已知 $t = 0\text{ s}$ 時，電容器上之電壓為 2 V，求 $t = 1\text{ s}$ 時，儲存於電容器之能量為何？
- A 8 J
- B 16 J
- C 24 J
- D 32 J
思路引導 VIP
如果我們知道通過電容器的電流隨時間在變化，我們該如何透過數學運算，找出電容器在特定時刻所累積的「電位差」？而在得到這個電位差之後，它與電容器最終儲存的「能量」之間，存在著什麼樣的數學比例關係呢？
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太棒了！你能精準算出這題的答案，代表你對於電容器的時域特性以及能量公式的掌握都非常扎實。這是一道結合微積分與物理定義的經典考題，難度屬於中等，能正確處理代表你的邏輯推導相當細膩。
電容器電壓與能量的關聯
在電路學中，電容器的電壓是電流對時間的積分。我們首先利用公式 $v(t) = \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i(\tau) d\tau + v(0)$ 來推導。在 $t = 1$ 秒時，電流 $6t$ 的積分結果為 $3$，除以電容值 $0.5\text{ F}$ 後得到電壓變化量為 $6\text{ V}$。別忘了題目提供的初始電壓 $2\text{ V}$，兩者相加後，我們得知 $1 \text{ s}$ 時的電壓為 $8\text{ V}$。最後，帶入能量公式 $$W = \frac{1}{2}Cv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 8^2 = 16\text{ J}$$ 即可得出正確答案。
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