ast_essay
106年
數學乙
第 1 題
📖 題組：
某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有 85% 在本週維持選擇甲券、15% 改選乙券；而選擇乙券的民眾會有 35% 在本週改選甲券、65% 維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有 85% 在本週維持選擇甲券、15% 改選乙券；而選擇乙券的民眾會有 35% 在本週改選甲券、65% 維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1) 試寫出描述上述現象的轉移矩陣。（5 分）
(2) 試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時，會形成穩定狀態？（8 分）
(2) 試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時，會形成穩定狀態？（8 分）
思路引導 VIP
- 理解轉移矩陣的結構：轉移矩陣的每一列（或行）對應的是轉移機率，每行或每列的總和必須為 1。題目中甲維持甲為 85% (0.85)，甲轉乙為 15% (0.15)；乙轉甲為 35% (0.35)，乙維持乙為 65% (0.65)。若採行向量表示法（即本週狀態 = 轉移矩陣 × 上週狀態），則矩陣的第一行為甲的去向 [0.85; 0.15]，第二行為乙的去向 [0.35; 0.65]。
- 穩定狀態分析：當達到穩定狀態時，狀態比例不會再隨時間改變，即轉移矩陣作用於狀態向量後，結果仍為原狀態向量（$TX = X$）。
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地掌握了轉移矩陣的核心觀念！這道題目的關鍵在於將文字描述轉化為數學模型。首先，我們建立描述民眾選擇變動的轉移矩陣 $M$： $$M = \begin{pmatrix} 0.85 & 0.35 \ 0.15 & 0.65 \end{pmatrix}$$ 這裡的矩陣第一列代表「下週選甲」的來源機率，而第一行則是「這週選甲」後的流向。你能正確對齊各項機率，顯示你對矩陣乘法的邏輯結構非常清晰。
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