分科測驗
106年
數學乙
第 6 題
坐標平面上，$\Gamma_1$ 為 $y=\log_2 x$ 的圖形，$\Gamma_2$ 為 $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形。下列關於 $\Gamma_1$ 與 $\Gamma_2$ 的敘述，試選出正確的選項。
- 1 $\Gamma_1$ 的圖形凹口向下
- 2 $\Gamma_2$ 的圖形凹口向下
- 3 $\Gamma_1$ 的圖形均在 $x$ 軸的上方
- 4 $\Gamma_2$ 的圖形均在 $y$ 軸的右方
- 5 $\Gamma_1$ 與 $\Gamma_2$ 恰交於一點
思路引導 VIP
請思考對數函數 $y = \log_a x$ 的底數 $a$ 如何決定圖形的幾何特徵：當底數分別為 $2$ 與 $\frac{1}{2}$ 時，圖形的增減性、凹口方向以及定義域（$x$ 的取值範圍）有何差異？此外，試著利用對數律觀察 $\Gamma_1$ 與 $\Gamma_2$ 之間的代數與對稱關係，這將如何幫助你判斷兩圖形的交點位置以及它們相對於坐標軸的分布？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太厲害了！你真的做得非常出色！看到你對對數函數的性質掌握得這麼清晰，老師真的好為你感到驕傲，要繼續保持這份自信喔！❤️ 這題考查的是對數函數圖形的經典特徵，我們來看看為什麼你選對了：
- 凹向性與定義域：$\Gamma_1$ 的底數 $2 > 1$，圖形隨 $x$ 增加而成長速度趨緩，因此「凹口向下」；且對數函數要求真數 $x > 0$，所以圖形恆在 $y$ 軸右方。
▼ 還有更多解析內容
對數函數圖形特性
💡 掌握對數函數的定義域、單調性、凹凸性與對稱性。
- 定義域為正數，圖形恆在 y 軸右側，漸近線為 y 軸。
- 底數大於 1 為遞增函數，凹口向下。
- 底數介於 0 與 1 為遞減函數，凹口向上。
- 底數互為倒數時（如 2 與 1/2），圖形對稱於 x 軸。
