初等考試 106年 [統計] 統計學大意

第 30 題

若 $x$、$y$ 的樣本變異數分別為 $S_x^2 = 1600$ 及 $S_y^2 = 1225$，判定係數為 0.81，則 $x$ 和 $y$ 的樣本共變異數 cov($x$, $y$)為：

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請思考一下：『判定係數』反映了模型解釋能力，它與衡量變數間線性關聯強度的『相關係數』有什麼數學上的轉化關係？而這個關聯強度，又是如何結合兩變數各自的波動程度（標準差），進而拆解出兩者共同變動的衡量指標呢？

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觀念驗證：這題的核心在於掌握判定係數 ($R^2$) 與相關係數 ($r$) 的關係。在簡單線性迴歸中，$R^2 = r^2$，因此我們能推導出 $|r| = \sqrt{0.81} = 0.9$。再利用相關係數公式： $$r = \frac{cov(x, y)}{S_x S_y}$$

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