地特四等申論題
106年
[天文] 微積分
第 一 題
一、設函數 f(x) = $x^{1/3}$，求函數 f 對 x = 8 的泰勒公式（Taylor formula）至第二階，並利用此結果證明 2 < 8.$03^{1/3}$ < 2.0025。（20 分）
📝 此題為申論題
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本題測驗「泰勒展開式與誤差估計」的核心概念。解題時需先明確寫出帶有拉格朗日餘項（Lagrange Remainder）的二階泰勒公式，接著將 x=8.03 代入，透過評估「二階修正項」為負以及「三階餘項」的正值與極小特性，嚴謹地夾擠出函數值的上下界限。
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【解題思路】利用帶有拉格朗日餘項（Lagrange remainder）的泰勒公式展開函數，並透過評估各階微小項的數值大小與正負號來證明不等式。 【詳解】 一、求函數 $f(x) = x^{1/3}$ 至第二階的泰勒公式
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泰勒公式與餘項估計
💡 利用泰勒展開式與拉格朗日餘項進行函數值近似與誤差範圍證明。
🔗 泰勒公式解題流程
- 1 階次求導 — 求出 f(x) 的各階導數並代入展開點 a 求值
- 2 公式展開 — 帶入 Taylor 公式，注意分母階乘與次方的對應
- 3 餘項設定 — 寫出 Lagrange 餘項並標明 c 介於 x 與 a 之間
- 4 誤差估計 — 代入 x 值，根據餘項正負號完成不等式證明
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🔄 延伸學習：延伸學習：餘項階數 n 的選擇會影響估計的精確度（誤差階數）。
