高考申論題
106年
[化學工程] 物理化學(包括化工熱力學)
第 二 題
二、波次曼（L.Boltzmann）對於能量分布提出以下之關係：占領某一能階之粒子之機率（Pn）為
Pn = an/N = e^(-βεn)/q (1)
其中，an 為占領第 n 階的粒子數，N 為全部粒子數，εn 為第 n 階的粒子能量，
q = Σe^(-βεn) 為分配函數（partition function）。此群粒子的平均能量可以表示成
⟨ε⟩ = Σεn(an/N) = (1/q)Σεne^(-βεn) = E/N (2)
試導證 ⟨ε⟩ = kT²(d ln q / dT) （20 分）
📝 此題為申論題
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本題考查統計熱力學中分配函數與熱力學性質的連結。解題關鍵在於利用對數微分法（d ln q / dβ = 1/q * dq/dβ），並代入統計力學基本定義 β = 1/kT，透過微積分連鎖律將變數由 β 轉換為 T 即可順利得證。
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【解題思路】運用微積分中的對數微分法與連鎖律（Chain Rule），結合 $\beta$ 與絕對溫度 $T$ 的熱力學統計關係（$\beta = \frac{1}{kT}$），建立平均能量與分配函數的偏微分關係。 【詳解】 已知：
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