高考申論題
106年
[土木工程] 靜力學與材料力學
第 一 題
大部分的金屬材料其波松比（Poisson's ratio）ν 介於 0.25~0.35 之間，且受壓力作用，體積會減小。反之，受拉力作用則體積會變大。今有一線彈性材料，在雙軸應力（biaxial stress）σx 及σy（同為拉應力或壓應力）作用下，亦滿足上述體積變化行為。若其彈性模數為 E，波松比為ν，試以材料體積變化率，推導證明此材料波松比ν 的上限值是 0.5（即ν < 0.5）。（25 分）
📝 此題為申論題
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看到體積變化率，應直覺聯想到體積應變 (Dilatation)公式 e = εx + εy + εz。解題關鍵在於利用廣義虎克定律寫出雙軸應力狀態下的各方向應變（注意 z 方向應力雖為零，但仍有蒲松效應產生的 z 方向應變），再根據題目『受拉體積變大 (e>0)、受壓體積變小 (e<0)』之物理條件，即可推導出波松比的不等式。
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【解題思路】利用廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）寫出雙軸應力下的三軸應變，計算體積變化率（Dilatation），並代入題目給定的拉壓體積變化條件進行不等式推導。 【詳解】 已知：
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