高考申論題
106年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 一 題
📖 題組：
一、(一)求極限值：\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \cos t^2 dt}{2x^2}。(10 分) (二)已知 y = f(x) 滿足方程式 x+6x^3y^3+y-8=0 且 f(1)=1，求圖形 f(x) 在點 (1, f(1)) 的切線方程式。(10 分)
一、(一)求極限值：\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \cos t^2 dt}{2x^2}。(10 分) (二)已知 y = f(x) 滿足方程式 x+6x^3y^3+y-8=0 且 f(1)=1，求圖形 f(x) 在點 (1, f(1)) 的切線方程式。(10 分)
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求極限值：\lim_{x \to 0} $\frac{\int_{0}^{x^2} \cos t^2 dt}{2x^2}$。(10 分)
思路引導 VIP
看到積分上限含有變數的極限題，首先檢查代入後是否為 0/0 或 ∞/∞ 不定型。確認為 0/0 不定型後，即可運用羅必達法則（L'Hôpital's Rule），並搭配微積分基本定理與連鎖律對分子進行求導與化簡。
小題 (二)
已知 y = f(x) 滿足方程式 x+6x^3y^3+y-8=0 且 f(1)=1，求圖形 f(x) 在點 (1, f(1)) 的切線方程式。(10 分)
思路引導 VIP
面對 x 與 y 混合難以顯式表示的方程式，應優先採用「隱函數微分法」。對方程式兩邊同對 x 微分，利用乘法規則與連鎖律求出 y' (即 dy/dx)，代入已知切點座標得到切線斜率，最後使用點斜式寫出切線方程式。