高考申論題
106年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 一 題
📖 題組：
四、(一)求下列的積分值：(10 分) \iint_{\Omega} \sin \sqrt{x^2+y^2} dxdy，其中 \Omega = \{(x, y) | \pi \le \sqrt{x^2+y^2} \le 2\pi \}。 (二)利用格林定理（Green Theorem）計算下列線積分：(10 分) \oint_{C} (2xy+e^{x^2})dx + (2x+e^{y^2})dy，其中曲線 C 是由拋物線 y=x^2 與直線 y=x 所圍成封閉區域之邊界。
四、(一)求下列的積分值：(10 分) \iint_{\Omega} \sin \sqrt{x^2+y^2} dxdy，其中 \Omega = \{(x, y) | \pi \le \sqrt{x^2+y^2} \le 2\pi \}。 (二)利用格林定理（Green Theorem）計算下列線積分：(10 分) \oint_{C} (2xy+e^{x^2})dx + (2x+e^{y^2})dy，其中曲線 C 是由拋物線 y=x^2 與直線 y=x 所圍成封閉區域之邊界。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求下列的積分值：\iint_{\Omega} \sin $\sqrt{x^2+y^2} dxdy$，其中 \Omega = \{(x, y) | $\pi \le \sqrt{x^2+y^2} \le 2\pi \}$。(10 分)
思路引導 VIP
觀察積分區域為一圓環，且被積分函數包含 (\sqrt{x^2+y^2})，這兩個幾何與代數特徵強烈暗示需將直角坐標轉換為極坐標（Polar Coordinates）來求解。轉換後需特別注意面積元素必須乘上 Jacobian 行列式值 (r)，最後再利用分部積分法（Integration by Parts）處理 (r \sin r) 的積分計算。
小題 (二)
利用格林定理（Green Theorem）計算下列線積分：\oint_{C} (2xy+e^{x^2})dx + (2x+e^{y^2})dy，其中曲線 C 是由拋物線 y=x^2 與直線 y=x 所圍成封閉區域之邊界。(10 分)
思路引導 VIP
首先辨識出線積分中的 P(x,y) 與 Q(x,y)，並計算各自對 y 與 x 的偏微分。接著套用格林定理將封閉線積分轉換為二重積分，並求出兩曲線交點以決定 x 與 y 的積分上下限，最後進行逐次積分即可求解。