高考申論題
108年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 五 題
五、假設區域 S 是由 x = 0, x = 1, y = 0 及曲線 y = √(4-x) 所圍出來的，請計算 S 繞 y 軸旋轉一圈所繞出的體積。（20 分）
📝 此題為申論題
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面對旋轉體體積問題，首要步驟是畫出給定區域並決定合適的積分法。本題繞 y 軸旋轉，若採用圓柱殼法（Shell Method），只需對 x 從 0 到 1 進行單一積分，計算最為直接；若用圓盤法（Disk/Washer Method）則需依 y 值範圍分段積分。故強烈建議使用圓柱殼法，並搭配變數變換來處理根號積分。
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【解題思路】使用圓柱殼法（Method of Cylindrical Shells）計算繞 y 軸旋轉的體積，可避免分段積分的繁瑣，並輔以變數代換法求定積分。 【詳解】 已知：區域 S 由 $x = 0$、$x = 1$、$y = 0$ 及曲線 $y = \sqrt{4-x}$ 所圍成，且繞 y 軸（即 $x=0$）旋轉。
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