高考申論題
107年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 二 題
📖 題組：
四、
四、
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
求初始值問題 $y'(t) = y(t)(0.5 - 0.025y(t))$，$y(0) = 10$ 之解。（20 分）
思路引導 VIP
看到形如 y'= ay - by^2 的方程式，應立刻想到這是 Logistic 微分方程。解題策略上，優先採用「分離變數法」搭配部分分式展開進行積分；或者將其視為白努力方程（Bernoulli ODE），利用代換法 u = y^(-1) 轉化為一階線性微分方程求解。
小題 (一)
求 $y''(t) - y'(t) - 2y(t) = t + 1$ 之通解。（15 分）
思路引導 VIP
看到二階常係數線性非齊次微分方程，解題核心分為兩步驟：首先解出對應的齊次解（Homogeneous solution），接著利用「待定係數法」（Method of Undetermined Coefficients）求出特解（Particular solution）。因為右式為一次多項式，可直接假設特解型式為 At + B，代入比較係數即可得到完整通解。
邏輯斯微分方程求解
💡 運用分離變數法與部分分式，求解 Logistic 增長模型特解。
🔗 Logistic ODE 求解流程
- 1 變數分離 — 移項使 y 集中於左側，dt 移至右側。
- 2 部分分式展開 — 將 1/[y(M-y)] 拆解為 A/y + B/(M-y)。
- 3 對數積分 — 兩邊積分取得 ln 形式的隱函數通解。
- 4 求積分常數 — 代入初始條件 y(0)=10 以鎖定特定解。
- 5 顯函數化 — 整理方程式得出 y(t) = ... 的最終形式。
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🔄 延伸學習：延伸學習：分析當 t 趨近無限大時，y(t) 是否收斂至環境承載量 M。
