高考申論題
106年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 五 題
五、求下列微分方程組的解：(20 分)
$\frac{dy_1}{dt} = 2y_2(t) + 2y_3(t) , y_1(0) = 5 ,$
$\frac{dy_2}{dt} = 2y_3(t) + 2y_1(t) , y_2(0) = -1 ,$
$\frac{dy_3}{dt} = 2y_1(t) + 2y_2(t) , y_3(0) = -1$。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
面對線性常微分方程組，最標準的做法是將其寫成矩陣形式 Y' = AY，透過求解係數矩陣 A 的特徵值與特徵向量來建立一般解。此外，觀察本題方程組的高度對稱性，亦可透過令 S = y_1+y_2+y_3 的變數代換法，搭配積分因子迅速解出。
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【解題思路】利用線性微分方程組的矩陣特徵值法求解（另提供對稱性變數代換法）。 【詳解】 已知：微分方程組可改寫為矩陣形式 $Y'(t) = A Y(t)$，其中
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