高考申論題
107年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 一 題
📖 題組：
四、
四、
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 $y''(t) - y'(t) - 2y(t) = t + 1$ 之通解。（15 分）
思路引導 VIP
看到二階常係數線性非齊次微分方程，解題核心分為兩步驟：首先解出對應的齊次解（Homogeneous solution），接著利用「待定係數法」（Method of Undetermined Coefficients）求出特解（Particular solution）。因為右式為一次多項式，可直接假設特解型式為 At + B，代入比較係數即可得到完整通解。
小題 (二)
求初始值問題 $y'(t) = y(t)(0.5 - 0.025y(t))$，$y(0) = 10$ 之解。（20 分）
思路引導 VIP
看到形如 y'= ay - by^2 的方程式，應立刻想到這是 Logistic 微分方程。解題策略上，優先採用「分離變數法」搭配部分分式展開進行積分；或者將其視為白努力方程（Bernoulli ODE），利用代換法 u = y^(-1) 轉化為一階線性微分方程求解。