高考申論題
111年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 一 題
📖 題組：
四、令 f(t) = { 1, t ∈ [0,2); 0, t ≥ 2 }。 (一)求函數 f 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（10 分） (二)求初始值問題 y''(t) - y(t) = f(t), t > 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 之解。（20 分）
四、令 f(t) = { 1, t ∈ [0,2); 0, t ≥ 2 }。 (一)求函數 f 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）。（10 分） (二)求初始值問題 y''(t) - y(t) = f(t), t > 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 之解。（20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求函數 f 之拉普拉斯轉換（Laplace transform）。
思路引導 VIP
遇到分段函數的拉普拉斯轉換，可直接使用積分定義分段求解，或將函數改寫為單位步階函數（Unit Step Function）的線性組合再套用平移公式。這兩種方法都是微積分與常微分方程中的標準技巧，建議考生兩者皆需熟練以互相驗算。
小題 (二)
求初始值問題 y''(t) - y(t) = f(t), t > 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 之解。
思路引導 VIP
本題測驗以拉普拉斯轉換求解具備不連續作用力（分段常數函數）的二階線性常微分方程。解題關鍵為先將分段函數以單位階躍函數表示，再利用拉普拉斯轉換將微分方程代數化，最後透過部分分式與第二平移定理求得反轉換即為解答。