高考申論題
106年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 二 題
二、利用 Lagrange 乘數法（The Method of Lagrange Multipliers）求函數 f(x, y) = 200x^{0.75}y^{0.25} 在 g(x, y) = 400x + 600y - 120000 = 0 的條件下之最大值。(20 分)
📝 此題為申論題
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看到多變數函數在等式限制條件下的極值問題，應直覺聯想使用 Lagrange 乘數法。解題核心在於精確建構 Lagrange 函數 L(x, y, λ)，並建立一階偏導數等於零的聯立方程組。運算技巧上，利用對 x 與 y 的偏微方程式相除來消去乘數 λ，找出變數間的比例關係，再代回限制條件即可俐落求解並計算極值。
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【解題思路】利用 Lagrange 乘數法（The Method of Lagrange Multipliers），建構包含目標函數與限制條件的 Lagrange 輔助函數，透過一階必要條件求臨界點。 【詳解】 已知：
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