高考申論題
105年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 三 題
三、利用 Lagrange 乘數法（the Method of Lagrange Multipliers）找出在 xyz 空間曲面 x² + y² + z² + xy = 1 上離原點最近距離和最遠距離，並且找出分別對應發生最近距離和最遠距離的點之座標。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到求空間曲面上點到原點的極值距離，首先應設定目標函數為距離的平方 f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 以簡化計算。接著列出 Lagrange 乘數法的聯立方程式 ∇f = λ∇g，仔細進行分類討論（特別留意變數是否為零的情形）求出所有候選點，最後將各點代入並比較距離大小即可得解。
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【解題思路】利用 Lagrange 乘數法（Method of Lagrange Multipliers），設定目標函數為距離的平方，以求出極值點再計算實際距離。 【詳解】 已知：
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