高考申論題
111年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 二 題
二、令 f(x, y, z) = √(x² + y² + z²) 及 B = {(x, y, z) | 1 ≤ x² + y² + z² ≤ 4, y ≥ 0, z ≥ 0}。求三重積分 ∭_B f(x, y, z) dV 之值。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
觀察被積函數包含 √(x² + y² + z²) 以及積分區域為球殼的一部分，應立刻聯想到使用「球座標變換」來簡化計算。接著由區域條件 y ≥ 0 與 z ≥ 0 準確判定極角 (θ) 與方位角 (φ) 的積分上下限，最後代入球座標的體積元素 dV = ρ²sinφ dρdφdθ 進行逐次積分即可。