第 三 題

【解題思路】利用平面曲線弧長積分公式 $L = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} dx$，並透過變數代換與分部積分法求解超越函數的定積分。\n\n【詳解】\n 已知：曲線方程式為 $y = \frac{x^2}{4}$，起點 $x$-座標為 $1$，終點 $x$-座標為 $2$。\n 推導：\n Step 1：建立弧長積分式\n 先求 $y$ 對 $x$ 的一階導數：\n $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{4}\right) = \frac{x}{2}$\n 代入弧長公式：\n $L = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} dx$\n\n Step 2：變數代換\n 令 $u = \frac{x}{2}$，則微分項 $du = \frac{1}{2}dx \implies dx = 2du$。\n 轉換積分上下限：當 $x = 1$ 時，$u = \frac{1}{2}$；當 $x = 2$ 時，$u = 1$。\n 因此，積分式改寫為：\n $L = \int_{1/2}^{1} \sqrt{1 + u^2} (2du) = 2 \int_{1/2}^{1} \sqrt{1 + u^2} du$\n\n Step 3：使用分部積分法求解不定積分\n 針對 $\int \sqrt{1 + u^2} du$，令：\n $f = \sqrt{1 + u^2} \implies df = \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}} du$\n $dg = du \implies g = u$\n 依據分部積分公式 $\int f dg = fg - \int g df$：\n $\int \sqrt{1 + u^2} du = u\sqrt{1 + u^2} - \int \frac{u^2}{\sqrt{1 + u^2}} du$\n $= u\sqrt{1 + u^2} - \int \frac{(u^2 + 1) - 1}{\sqrt{1 + u^2}} du$\n $= u\sqrt{1 + u^2} - \int \sqrt{1 + u^2} du + \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} du$\n 將等式右側的 $\int \sqrt{1 + u^2} du$ 移項至左側，可得：\n $2 \int \sqrt{1 + u^2} du = u\sqrt{1 + u^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} du$\n 已知基本積分 $\int \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} du = \ln|u + \sqrt{1 + u^2}|$，故：\n $2 \int \sqrt{1 + u^2} du = u\sqrt{1 + u^2} + \ln|u + \sqrt{1 + u^2}|$\n （注意：此式即為 Step 2 中 $L$ 的原函數結構）\n\n Step 4：代入上下限計算定積分\n $L = \left[ u\sqrt{1 + u^2} + \ln|u + \sqrt{1 + u^2}| \right]_{1/2}^{1}$\n 代入上限 $u = 1$：\n $1\cdot\sqrt{2} + \ln|1 + \sqrt{2}| = \sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})$\n 代入下限 $u = 1/2$：\n $\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{4}} + \ln\left|\frac{1}{2} + \sqrt{1+\frac{1}{4}}\right| = \frac{\sqrt{5}}{4} + \ln\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$\n 兩者相減：\n $L = \left( \sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}) \right) - \left( \frac{\sqrt{5}}{4} + \ln\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) \right)$\n ∴ 利用對數律 $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$ 整理對數項得最終結果。\n\n【答案】這隻螞蟻走的距離為 $\sqrt{2} - \frac{\sqrt{5}}{4} + \ln\left( \frac{2 + 2\sqrt{2}}{1 + \sqrt{5}} \right)$。