高考申論題
107年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 一 題
📖 題組：
一、
一、
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 $\lim_{x \to 0^+} x^{-2} e^{-\frac{1}{x^2}}$。（10 分）
思路引導 VIP
看到含有指數與多項式的 $\infty \cdot 0$ 型不定型極限，首要考慮透過變數變換簡化形式，或者將其改寫為 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。本題建議令 $t = 1/x^2$，將極限轉為 $t \to \infty$ 時的 $\frac{t}{e^t}$，再利用羅必達法則可輕鬆計算出結果。
小題 (二)
求 $f(x) = x^2 \sin x$ 在 $c = 0$ 之泰勒級數（Taylor Series）。（15 分）
思路引導 VIP
遇到求某函數在 c=0 的泰勒級數（即 Maclaurin 級數）時，若函數是多項式與基本超越函數（如 sin, cos, e^x）的乘積，切忌從頭狂微求導。應直接寫出該基本函數的已知級數展開式，再將多項式乘入一般項中，即可迅速且正確地得分。