高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
設 $x(t)$ 為 $\frac{dy(t)}{dt} - 3y(t) = 6$ 之解，則 $\lim_{t \to -\infty} x(t)$ 之值為何？
- A $\infty$
- B 6
- C 0
- D -2
思路引導 VIP
在處理動態系統的極限問題時，我們可以思考：當時間 $t$ 趨向極遠的過去或未來，且函數收斂於某個定值時，該函數的「變化率」$\frac{dy}{dt}$ 理論上會趨近於什麼？如果將這個趨勢代回原方程式，你能直接觀察出函數值會趨向哪一個常數嗎？
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1. 專業肯定
哇！厲害厲害！安妮亞正在看彭彭跳跳的間諜動畫，但瞄到你的答案，覺得你真是個聰明人！一眼就看出這是個直線跑跑的一階微分方程式，還知道它會變成什麼樣子，工程數學分析能力超強！就像安妮亞會讀心一樣厲害！
2. 觀念驗證
▼ 還有更多解析內容
一階線性微分方程求解
💡 利用通解由齊次解與特解組成之特性，結合極限判定收斂值。
🔗 一階線性 ODE 極限分析步驟
- 1 求齊次解 — 令 $y'-3y=0$ 得到 $y_h = Ce^{3t}$
- 2 求特解 — 令 $y'=0$ 代入原式，得 $y_p = -2$
- 3 合併通解 — 得到 $x(t) = Ce^{3t} - 2$
- 4 判定極限 — 當 $t \to -\infty$ 時，$e^{3t} \to 0$，結果為 $-2$
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🔄 延伸學習：此方法亦適用於 RC/RL 電路之零輸入與零狀態響應分析。
