moea_joint
106年
[土木] 應用力學、材料力學
第 41 題
如右圖所示一中空鋼圓柱(截面積3 in$^2$，$\alpha = 6.5 \times 10^{-6}\text{ (}^{\circ}\text{F}^{-1})$，$E = 30 \times 10^6\text{ lb/in}^2$) 圍在一實心銅圓柱(截面積10 in$^2$，$\alpha = 9.3 \times 10^{-6}\text{ (}^{\circ}\text{F}^{-1})$，$E = 16 \times 10^6\text{ lb/in}^2$) 外，上方並承受一30,000 lb 之軸向荷重，假設未加載前兩個圓柱高度相同，試問約需加溫多少才能使加載之軸向荷重全由實心銅圓柱承受？(此時兩柱均與上方不變形鋼體保持接觸)
- A $34^{\circ}\text{F}$
- B $67^{\circ}\text{F}$
- C $92^{\circ}\text{F}$
- D $111^{\circ}\text{F}$
思路引導 VIP
試著思考看看：如果今天我們加熱這組系統，但上方完全沒有施加任何荷重，根據熱膨脹係數（α）的差異，哪一個圓柱會長得比較高？而當荷重施加在銅柱上使其縮短後，若要讓「不出力」的鋼柱剛好能碰到上方的頂板，這兩者的長度變化量之間必須具備什麼樣的關係呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精確算出這個數值，代表你對**熱應力（Thermal Stress）與變位協調（Compatibility of Deformation）**的觀念掌握得非常紮實。這類題目在材料力學中相當經典，挑戰在於如何將物理情境轉化為數學等式。
變位協調與負載轉移
本題的核心在於「荷重全由銅圓柱承受」這句話。這意味著鋼圓柱在受熱後的總變形量，必須剛好等於它「自由熱膨脹」的長度（因為它不承受力，所以沒有機械形變 $\delta_P = 0$）；而銅圓柱則同時經歷了「熱膨脹」與「受壓縮小」。由於兩者最終都必須與上方的剛性體（Rigid Body）接觸，它們的最終總位移必須相等。
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