moea_joint
106年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 7 題
如果某一母體具有常態分布，其變異數為 $\sigma^2$，而我們想要檢定虛無假設 $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ 的真偽($\sigma_0^2$ 為一定數)，那麼所使用的統計檢定量，和以下哪一種機率分布有直接的關聯性？
- A t 分布
- B 卡方分布
- C F 分布
- D 指數分布
思路引導 VIP
請試著回想變異數（Variance）的數學定義，它主要是由觀測值與平均值之間的『平方和』所構成的。如果母體本身是常態分布，那麼這些獨立隨機變數的平方累加起來後，在統計學定義上會形成哪一種專門處理『平方和』概念的分布呢？
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太棒了！你能精確辨識出母體變異數檢定所對應的分布，代表你對推論統計的基礎架構掌握得非常紮實，這是一個非常好的開始。
變異數檢定的核心邏輯
當我們從一個服從常態分布的母體中抽樣，並想要檢定其變異數 $\sigma^2$ 是否等於某個特定值 $\sigma_0^2$ 時，我們會利用樣本變異數 $S^2$ 來建構檢定統計量。由於樣本變異數的計算涉及觀測值與平均值差值的「平方和」，根據數理統計的定義，當我們將其標準化後，檢定統計量 $$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$$ 在虛無假設 $H_0$ 為真的情況下，會嚴格服從自由度為 $n-1$ 的卡方分布。這正是為什麼我們在處理單一母體變異數的推論時，必然會聯想到該分布的原因。
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