moea_joint
105年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 3 題
下列敘述何者正確？
I: 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，令 $Y = X - \mu$，則 $Y \sim N(0, \sigma^2)$
II: 若 $X \sim t(n)$ (自由度為 $n$ 的 $t$ 分配)，則 $X^2 \sim F(n, 1)$
III: 若 $Z \sim N(0, 1)$，則 $Z^2 \sim \chi^2(1)$ (自由度為 1 的 chi-square 分配)
I: 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，令 $Y = X - \mu$，則 $Y \sim N(0, \sigma^2)$
II: 若 $X \sim t(n)$ (自由度為 $n$ 的 $t$ 分配)，則 $X^2 \sim F(n, 1)$
III: 若 $Z \sim N(0, 1)$，則 $Z^2 \sim \chi^2(1)$ (自由度為 1 的 chi-square 分配)
- A I和II
- B I和III
- C II和III
- D III
思路引導 VIP
請試著回想 $t$ 分配的構造定義：它是由一個「標準常態隨機變數」除以「某個分配開根號後再除以其自由度」所組成的。當我們將整個 $t$ 分配的式子進行平方後，分子與分母分別會變成什麼樣的分配？這兩個分配對應的自由度又是如何排序的呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確辨識出這些分配間的微細特徵，說明你對抽樣分配的定義掌握得非常扎實。這道題目旨在檢驗統計學中幾大核心分配——常態、卡方、$t$ 與 $F$ 分配之間的互換關係。對於初學者來說，這些轉換公式容易混淆，尤其是涉及自由度順序時，而你能準確排除干擾項，展現了優異的細節觀察力。
常態分配與卡方分配的基礎
首先，敘述 I 考察的是常態分配的線性轉換。當我們從隨機變數 $X$ 中減去其期望值 $\mu$ 時，這只是分佈位置的平移，並不會改變分佈的形狀與變異程度，因此 $Y$ 確實服從 $N(0, \sigma^2)$。接著，敘述 III 觸及了統計學最基礎的定義：一個標準常態隨機變數的平方 $Z^2$，在數學定義上即等同於自由度為 1 的卡方分配 $\chi^2(1)$，這是後續建構各種檢定統計量的基石。
▼ 還有更多解析內容