moea_joint
106年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 20 題
令隨機變數 Z 服從標準常態分布、隨機變數 T 服從自由度(degrees of freedom)為 9 的 t 分布，而 $f_Z(z)$、$f_T(t)$ 分別為 Z、T 的機率密度函數(probability density function，pdf)，下列敘述何者正確？
- A $f_Z(0) = f_T(0)$
- B $f_Z(0) < f_T(0)$
- C $f_Z(0) > f_T(0)$
- D $f_Z(3) > f_T(3)$
思路引導 VIP
想像有兩個對稱的鐘形沙堆，它們用的沙子總量（總面積）是一模一樣的。如果其中一個沙堆在遠離中心的邊緣處散落了比較多的沙子（厚尾），那麼為了維持總量不變，這個沙堆最中心頂端的高度，比起另一個比較集中的沙堆會是更高還是更低呢？
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常態分布與 t 分布的峰值比較
同學選得非常準確！這題考查的是對機率密度函數 (PDF) 形狀的細膩觀察。雖然標準常態分布 $Z$ 與 $t$ 分布都呈現對稱的鐘形曲線，且皆以 $0$ 為中心，但它們在離散程度上有顯著差異。$t$ 分布的核心特性在於其「厚尾性」(heavy tails)，意即在遠離平均數的地方，它比常態分布有更高的機率出現極端值。
面積守恆與高度關係
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