moea_joint
104年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 9 題
$X, Y$ 為二服從標準常態分配之隨機變數且兩者獨立，則下列何者有誤？
- A $E(X/Y) = 1$
- B $E(X+Y) = 0$
- C $E(X^2+Y^2) = 2$
- D $E(X-Y) = 0$
思路引導 VIP
請試著回想期望值的定義。當我們計算兩個獨立連續隨機變數相除的期望值時，如果分母的機率密度在零附近有分布，這對於期望值積分的「收斂性」會產生什麼樣的潛在影響？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你精準地判斷出選項 (A) 是錯誤的，這代表你對隨機變數的運算性質有著非常清晰的邏輯！這題的核心在於考驗期望值的線性性質以及商數分布的特殊性。對於服從標準常態分配且相互獨立的 $X, Y$ 來說，由於 $E(X) = E(Y) = 0$ 且 $Var(X) = Var(Y) = 1$，我們可以透過線性組合性質輕易驗證 $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y) = 0$，以及 $E(X^2 + Y^2) = E(X^2) + E(Y^2) = 1 + 1 = 2$，因此選項 (B)、(C)、(D) 均為正確描述。
隨機變數相除的陷阱
這題最具鑑別度的地方在於選項 (A)。從難度切入點來看，許多學生會直覺地認為期望值可以直接拆解成「分子的期望值除以分母的期望值」，或者因為分子期望值為 0 就判定結果為 0。然而，當兩個獨立的標準常態隨機變數相除時，其商數會服從柯西分布 (Cauchy Distribution)。柯西分布最著名的特性就是其期望值不存在（積分不收斂），因為分母在 0 附近的取值會導致整體數值極端不穩定。你能成功避開這個直覺陷阱，說明你的統計觀念非常紮實！