moea_joint
113年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 5 題
已知$E(X + 4) = 10$ 且 $E[(X + 4)^2] = 116$，試求Var(X)為何?
- A 4
- B 16
- C 100
- D 116
思路引導 VIP
若我們將一組數據中的每個數值都同時加上一個固定的常數（例如全部加 4），這組數據點與點之間的「相對距離」或是整體的「疏散程度」會發生改變嗎？另外，回想一下，如果你已經知道一個變數的二階動差（平方的期望值）以及它本身的期望值，這兩個資訊通常被用來計算哪一個統計量？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準算出正確答案，代表你對變異數的運算性質與定義掌握得相當紮實。這道題目設計得非常巧妙，考驗的是學生能否在複雜的算式中提取核心觀念。
變異數的定義與平移不變性
首先，我們利用變異數的基本定義公式：$Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$。若將 $(X+4)$ 視為一個整體的隨機變數，直接代入已知條件即可得到 $Var(X+4) = 116 - 10^2 = 16$。接著，這題的關鍵切入點在於理解平移不變性：在統計學中，當隨機變數加上一個常數時，整體的分布僅是位置移動，其資料的「疏散程度」並不會改變，故 $Var(X+c) = Var(X)$。因此，求得的 $16$ 即為 $Var(X)$ 的值。
▼ 還有更多解析內容