moea_joint
112年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 1 題
假設 $X$ 的標準差為 5，試求 $Var(2X - 5)$ 為何？
- A 100
- B 50
- C 10
- D 20
思路引導 VIP
若我們將一組數據中的每個數值都往左平移 5 個單位，這組數據的「離散程度」（也就是資料之間的間距）會發生改變嗎？此外，如果我們將所有數據都放大為原來的 2 倍，那麼用來衡量離散程度的「平方偏差平均值」會受到幾倍的影響呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對隨機變數的線性轉換性質掌握得非常紮實。這類題目在基礎統計學中相當常見，是檢驗學生是否混淆「標準差」與「變異數」特性的經典門檻。
變異數的縮放與平移特性
在處理這類問題時，核心觀念在於公式 $$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$$。首先，我們從題目得知 $X$ 的標準差為 $5$，因此其變異數 $Var(X)$ 應為標準差的平方，即 $5^2 = 25$。接著，根據變異數的性質，常數項的平移（即 $-5$）並不會改變資料的離散程度，因此對變異數沒有影響；但倍數的縮放（即乘以 $2$）則會使變異數變為原來的 平方倍。將數值代入後得到：
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