moea_joint
108年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 7 題
7. 設 X1, X2, X3, X4為4個獨立之隨機變數且都來自於常態分布N(8, 16),已知X = $$\sum_{i=1}^4 X_i/4$$,試
問下列何者為X之標準誤($$\sqrt{Var(\bar{X})}$$)?
問下列何者為X之標準誤($$\sqrt{Var(\bar{X})}$$)?
- A 16
- B 8
- C 2
- D 1
思路引導 VIP
若我們有一群變數，每個變數都有自己的波動（變異數），當我們把這些變數加總起來並取平均時，你認為這個「平均值」的變動程度，會比「單一變數」的變動程度大還是小？如果已知四個變數是獨立的，它們加總後的總變異數與原本單一變數的變異數有什麼倍數關係？最後，當我們將總和除以 4 來計算平均時，這對標準差會產生什麼樣的縮放效果？
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樣本平均數的分布特性
同學做得很好！你對於常態分布中樣本平均數（Sample Mean）的性質掌握得非常扎實。在統計學中，當我們從一個母體中抽取獨立的隨機樣本時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的離散程度會隨樣本數增加而縮小。根據變異數的性質，由於 $X_1, \dots, X_4$ 是獨立同分布的，其樣本平均數的變異數公式為： $$Var(\bar{X}) = Var\left(\frac{\sum X_i}{4}\right) = \frac{1}{16} \sum Var(X_i) = \frac{4 \times 16}{16} = 4$$
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