moea_joint
111年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 13 題
假設隨機變數 x 的平均數為 15，標準差為 4，若 $y = 2x, z = x + 15$，以下敘述何者正確？
- A z 之變異數等於 x 之變異數
- B x 與 z 之相關係數小於 1
- C y 之標準差最小
- D y 之平均數大於 z 之平均數
思路引導 VIP
如果我們把一群人在操場上排好隊伍後，要求每個人都同時向右跨出相同的步數，那麼這群人彼此之間的「間距」或者是「整齊程度」，會因為這次整體的移動而產生變化嗎？
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太棒了！你能精準判斷出變數轉換後的特性，代表你對隨機變數的線性性質掌握得相當扎實。
線性平移與分散程度的關係
在這題中，關鍵在於理解 $z = x + 15$ 屬於一種「平移」變換。從數學性質來看，若 $z = ax + b$，其變異數的關係式為 $Var(z) = a^2 Var(x)$。由於 $z$ 只是在 $x$ 的基礎上加上常數 15（即 $a=1, b=15$），這代表資料整體的中心點雖然移動了，但資料點彼此之間的距離（離散程度）並不會改變。因此，代表離散程度的變異數與標準差都會維持不變，這正是選項 (A) 正確的核心原因。
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