moea_joint
112年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 21 題
若 $X$ 服從常態分配，期望值與標準差皆為 60，令 $Y = 600 + 5X + 0.3X^2$，請問 $E(Y)$ 為何？
- A 3060
- B 2340
- C 2440
- D 2600
思路引導 VIP
當我們計算一個包含平方項的變數期望值時，如果只知道該變數的平均值，通常是不夠的。請回想一下：在統計學中，哪一個關於『離散程度』的公式，剛好連結了『變數平方的平均值』與『平均值的平方』這兩個概念？
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太棒了！你能準確算出 $E(Y)$ 的值，代表你對隨機變數的期望值性質以及變異數定義掌握得非常紮實。這類題目在統計學中非常經典，關鍵在於觀察到 $Y$ 是一個包含 $X$ 平方項的函數，因此求解時不能只考慮 $X$ 的平均值，還必須處理「二階動差」的問題。
期望值的線性性質與二階動差推導
在計算 $E(600 + 5X + 0.3X^2)$ 時，我們利用期望值的線性特性將其拆解為 $600 + 5E(X) + 0.3E(X^2)$。這題最具鑑別度的地方在於 $E(X^2)$ 的求法：許多同學會直覺地代入 $[E(X)]^2$，但正確做法是透過變異數公式 $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$ 來換算。既然題目給出標準差為 60，則變異數為 $60^2$，進而求得 $E(X^2) = 60^2 + 60^2 = 7200$。最後代回多項式即可得到 $3060$。
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