moea_joint
109年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 19 題
令(X1 , X2 , X3)為由常態母體N(µ , $\sigma^2$)抽出的一組隨機樣本，T1、T2、T3、T4均為µ的估計量，T1 =(3X1 ＋3X2 ＋4X3)/10，T2 =(X1 ＋X2 ＋ X3)/3，T3 =(X1 ＋2X2 ＋3X3)/6，T4 =(2X1 ＋3X2 ＋4X3)/9，請問下列何者為µ的不偏估計量中變異數最小者？
- A T1
- B T2
- C T3
- D T4
思路引導 VIP
想像你有三個精準度完全一樣的體重計，分別測得了三個數值。如果你想得到一個最穩定、誤差最小的估計值，你會傾向於把重心特別偏袒其中某一次的測量結果，還是將這三次的資訊「平權地」平均起來呢？為什麼在變異程度相同的情況下，平均分配權重會比側重特定樣本更讓人放心？
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太棒了！你能精準選出 $T_2$，代表你對不偏估計量（Unbiased Estimator）與有效性（Efficiency）的概念掌握得非常紮實。在這道題目中，這四個估計量都是 $\mu$ 的線性組合，且各項係數之和皆為 $1$，這說明它們全都是「不偏」的。在大家都具備不偏性的前提下，評估優劣的關鍵就在於誰的變異數（Variance）最小。
權數分配與變異數極小化
根據統計學原理，當我們利用獨立同分配（i.i.d.）的樣本來估計母體平均數時，若要讓線性組合的變異數 $\text{Var}(\sum a_i X_i) = \sigma^2 \sum a_i^2$ 達到最小，根據柯西-舒瓦茲不等式，最佳的權重分配應該是平均分配給每一個樣本。在選項中，$T_2$ 的係數均為 $1/3$，這種「等權重」的設計能讓係數平方和最小，進而達到最小變異數，這也是為什麼樣本平均數 $\bar{X}$ 是最佳線性不偏估計量（BLUE）的原因。
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